Problème 3x+1

Ce problème, bien connu des mathématiciens, a été testé par ordinateur jusqu’à plus de 10^18. Ce qui signifie que la conjecture est vérifiée (numériquement, sans preuve formelle) pour tous les entiers positifs inférieurs à un nombre de 18 chiffres ! Mais rien n’indique qu’un nombre entier plus grand ne « retombe » pas à 1 ou diverge à l’infini ou bien rentre dans une boucle ou cycle ne contenant pas 1.

En fait, vous l’aurez saisi, il y a plusieurs points à prouver pour considérer cette conjecture vraie :

  1. Convergence : tous les nombres entiers positifs atteignent 1,
    1. C’est-à-dire qu’aucun nombre entier positif n’admet d’itérations à l’infini sans jamais atteindre 1;
  2. Divergence à l’infini : aucun nombre entier positif n’atteint l’infini au moins une fois,
  3. Divergence d’une boucle : aucun nombre entier positif n’entre dans au moins une boucle (infinie ou cyclique) autre que celle incluant 1,
  4. Il n’existe aucun autre cycle infini que celui avec 1 quel que soit l’entier positif choisi.
Une boucle est une suite de nombres qui se répètent. Par exemple, une fois atteint 1, si on poursuit la suite, on obtient 2 au rang suivant, puis 1, puis 2 de nouveau, etc. Cette boucle à l’infini est aussi appelée cycle trivial. Pour ce problème il existe, à preuve du contraire, qu’un seul et unique cycle trivial.
Alors, saurez-vous trouver les moyens et outils pour prouver ces 4 points ?
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